由（1）我们可以断定w存在三歧性，由于w的传递性，所以我们可以断定每一个自然数都有w三歧性。

3.公理集合论有关序数的定义。

0是序数。

若a是一序数，则a+是一序数。

若s是序数的一集合(即s的元都是序数>，则us是一序数s。

任一序数都是经（1）（2）（3）获得的。

每一自然数都是序数，并且w是一序数。

对于任意自然数n，w+n是一序数。

w+w=u{w+n|n∈w}。

w+w是一序数。

证明：

首先证明{w+n|n∈w}是一集合。令f={＜n，w+n，n∈w}。不难验证f是类函数，并且有

ran（f|w）={w+n|n∈w}。

由替换公理，{w+n|n∈w}是一集合，由于它所有元素都是序数，所以由（3）可得w+w是一序数。

依照上述过程，我们可有序数w+w+1、w+w+w+2、……、w+w+w、……等等等等，并且令w+w=w·2，w+w+w=w·3，……，对于任意自然数n都存在w·n，并且令w·w={w·n|n∈w}。

仿照上述过程，可有证明w+w=w·2，这一过程可以一直进行下去，获得相当复杂的序数，例如w·3、w·4、……w·w、w·w·w、……等等等等，都是序数，还可以获得更复杂的序数（比如说e序数、ζ序数、……、不可递归序数、归第不可达序数、稳定序数、反射序数、……等等等等，无止境无休止。）。：，，.